В трапеции ABCD, BC : AD 1:2, E середина боковой сторон BC, т. М лежит на АЕ как, что АМ : МЕ как 4:1 используя векторы, доказать что точка М лежит на диагонали BD.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, где $BC \parallel AD$ и $BC : AD = 1 : 2$. Пусть точка $E$ является серединой боковой стороны $BC$, а точка $M$ лежит на отрезке $AE$ так, что $AM : ME = 4 : 1$. Требуется доказать, что точка $M$ лежит на диагонали $BD$, используя векторный метод.

Обозначим векторы:

• Пусть $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$, и $\vec{D}$ — это радиус-векторы вершин трапеции $A$, $B$, $C$, и $D$ соответственно.
• Точка $E$ — середина отрезка $BC$, поэтому ее радиус-вектор можно выразить как: $$\vec{E} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}.$$

Теперь найдем радиус-вектор точки $M$, которая делит отрезок $AE$ в отношении $4 : 1$.

Шаг 1. Определение радиус-вектора точки $M$

Поскольку точка $M$ делит отрезок $AE$ в отношении $4 : 1$, по формуле деления отрезка в данном отношении можно записать:

Подставим выражение для $\vec{E}$ в формулу:

Упростим выражение:

Шаг 2. Проверка, лежит ли точка $M$ на диагонали $BD$

Теперь посмотрим, можно ли выразить вектор $\vec{M}$ как линейную комбинацию векторов $\vec{B}$ и $\vec{D}$, что и покажет, лежит ли точка $M$ на прямой $BD$.

Рассмотрим вектор $\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B}$