Отрезки AB и AC являются отрезками касательных к окружности с центром O, проведенными из точки A. Найдите угол BAC, если середина отрезка AO лежит на окружности.

Обозначим точки касания как $B$ и $C$, центр окружности — $O$. Из точки $A$ к окружности проведены касательные $AB$ и $AC$, значит:

• $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$ (радиус в точку касания перпендикулярен касательной),

• $OB = OC = R$ (радиусы),

• $AB = AC$ (касательные из одной точки равны).

Пусть $M$ — середина отрезка $AO$. По условию $M$ лежит на окружности, то есть

Но $M$ — середина $AO$, значит

Отсюда

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$: он прямоугольный при $B$, потому что $OB \perp AB$. В нём:

• гипотенуза $AO = 2R$,

• катет $OB = R$.

Найдём угол $\angle BAO$. В треугольнике $AOB$:

значит

Аналогично в треугольнике $AOC$ получаем

Осталось связать это с $\angle BAC$. Треугольники $AOB$ и $AOC$ равны (по гипотенузе и катету: $AO$ общий, $OB=OC$, оба прямоугольные), поэтому луч $AO$ является биссектрисой угла между касательными:

Ответ: $\angle BAC = 60^\circ$.