Угол при основании равнобокой трапеции равен 45 градусов, боковая сторона 8 см, меньшее основание 10 см. Чему равна средняя линия трапеции?

Дана равнобокая трапеция: угол при основании $45^\circ$, боковая сторона $8$ см, меньшее основание $10$ см. Нужно найти среднюю линию.

1) Связь средней линии с основаниями
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

где $a$ и $b$ — основания (пусть $a$ — большее, $b$ — меньшее). Нам известно $b=10$, осталось найти $a$.

2) Найдём разность оснований через проекцию боковой стороны
В равнобокой трапеции, если опустить перпендикуляры с концов меньшего основания на большее основание, то большее основание разобьётся на три части:

где $x$ — “добавка” с каждой стороны. Тогда

Рассмотрим один из образовавшихся прямоугольных треугольников у боковой стороны. Гипотенуза — боковая сторона $8$ см. Угол при основании $45^\circ$. Тогда горизонтальная проекция боковой стороны на основание как раз равна $x$:

Значит,

3) Находим среднюю линию

Ответ: средняя линия трапеции равна $\boxed{10+4\sqrt2\text{ см}}$.