2 окружности пересекаются в точках P и Q. Через точки P и Q проведены прямые, пересекающие одну из окружностей в точках A и C, а другую в точках B и D. Докажите, что прямые AC и BD параллельны.

Рассмотрим две окружности, пересекающиеся в точках $P$ и $Q$.
Через точку $P$ проведена некоторая прямая, которая пересекает первую окружность еще в точке $A$, а вторую — еще в точке $B$.
Через точку $Q$ проведена другая прямая, которая пересекает первую окружность еще в точке $C$, а вторую — еще в точке $D$.

Требуется доказать, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Докажем это через углы.

Так как точки $A, P, C, Q$ лежат на одной окружности, то четырехугольник $APCQ$ вписанный.
Следовательно, углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $AQ$, равны:

Теперь посмотрим на вторую окружность. Точки $B, P, D, Q$ также лежат на одной окружности, значит четырехугольник $BPDQ$ вписанный.
Тогда углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $BQ$, равны:

Но точки $A, P, B$ лежат на одной прямой, поэтому лучи $PA$ и $PB$ совпадают.
Значит,

Отсюда получаем:

Итак,

Но точки $C, Q, D$ лежат на одной прямой, то есть прямые $CQ$ и $DQ$ — одна и та же прямая.
Следовательно, прямые $AC$ и $BD$ образуют с одной и той же прямой $CQD$ равные углы. А это и означает, что они параллельны:

Что и требовалось доказать.