Около правильного треугольника АВС описана окружность. Длина дуги АВ равна 2π. Найдите: а) радиус данной окружности; б) длину одной из медиан треугольника.

Давайте разберём задачу шаг за шагом, как если бы я сам пытался решить её на сайте с вопросами и ответами.

Дано:

• Треугольник $ABC$ — правильный.

• Около него описана окружность.

• Длина дуги $AB$ этой окружности равна $2\pi$.

Найти:

а) радиус описанной окружности $R$
б) длину медианы $m$ треугольника.

Шаг 1. Связь дуги и центрального угла

Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — радиус окружности. Дуга $AB$ соответствует центральному углу $\angle AOB$.

В правильном треугольнике $ABC$ все углы равны $60^\circ$. Соответственно, дуга $AB$ описанной окружности (обходя через $C$) — это дуга, противолежащая углу $C$.

• Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на дугу $AB$, равен углу при вершине $C$, умноженному на 2?

Нет, давайте аккуратно. В правильном треугольнике:

• Описанная окружность проходит через все вершины.

• Длина дуги $AB$ окружности = $(\text{центральный угол в радианах}) \cdot R$

Поскольку треугольник правильный, все центральные углы, соответствующие дугам между вершинами, одинаковы:

Потому что дуга между двумя вершинами правильного треугольника — треть окружности.

Шаг 2. Связь длины дуги и радиуса

Длина дуги $AB$ вычисляется по формуле:

Подставляем:

Решаем относительно $R$:

✅ Радиус описанной окружности $R = 3$.

Шаг 3. Длина стороны правильного треугольника

В правильном треугольнике сторона $a$ связана с радиусом описанной окружности $R$ формулой:

Подставляем $R = 3$:

Шаг 4. Длина медианы

Длина медианы $m$ в правильном треугольнике равна половине $\sqrt{2a^2 + 2a^2 - a^2}$ (по формуле для медианы $m_a = \frac12 \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$), но проще:

Для правильного треугольника медиана равна:

Подставляем $a = 3 \sqrt{3}$:

✅ Длина медианы $m = 4.5$.

Ответ:

• а) Радиус описанной окружности: 3

• б) Длина медианы треугольника: 4.5