Найти углы равнобедренной трапеции, если разность двух её углов равна 50 градусов. ( С объяснением каждого действия , теоремы )

Чтобы найти углы равнобедренной трапеции, давайте сначала разберёмся, что это за фигура и какие свойства у неё есть.

Шаг 1: Понимание свойств равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие (боковые стороны) равны по длине. У такой трапеции углы при каждом основании равны. То есть, если обозначить основания трапеции $AB$ и $CD$, а боковые стороны — $AD$ и $BC$, то угол $\angle A$ равен углу $\angle B$, а угол $\angle C$ равен углу $\angle D$.

Шаг 2: Использование теоремы о сумме углов

В любом четырехугольнике сумма всех углов равна $360^\circ$. Таким образом, для нашей трапеции можем записать уравнение:

Шаг 3: Учитываем равенство углов при основаниях

Так как трапеция равнобедренная, то углы при каждом основании равны:

• $\angle A = \angle B$
• $\angle C = \angle D$

Обозначим угол при основании $AB$ (т.е., углы $\angle A$ и $\angle B$) через $x$, а угол при основании $CD$ (т.е., углы $\angle C$ и $\angle D$) через $y$.

Теперь можем переписать уравнение для суммы углов, подставляя $x$ и $y$:

или

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

Шаг 4: Учёт условия задачи

По условию задачи, разность двух углов трапеции равна $50^\circ$. Так как у нас есть только два различных угла ($x$ и $y$), можно записать это условие как:

Шаг 5: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система двух уравнений:

1. $x + y = 180^\circ$
2. $x - y = 50^\circ$

Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от $y$:

Теперь подставим значение $x = 115^\circ$ в одно из уравнений, например, в $x + y = 180^\circ$:

Шаг 6: Проверка решения

Мы нашли, что $x = 115^\circ$ и $y = 65^\circ$. Подставим эти значения обратно в исходные условия:

1. $x + y = 180^\circ$: $115^\circ + 65^\circ = 180^\circ$ — условие выполнено.
2. $x - y = 50^\circ$: $115^\circ - 65^\circ = 50^\circ$ — условие также выполнено.

Ответ

Углы равнобедренной трапеции равны:

• Углы при большем основании (например, $AB$) равны $115^\circ$.
• Углы при меньшем основании (например, $CD$) равны $65^\circ$.

Таким образом, углы равнобедренной трапеции — это $115^\circ$ и $65^\circ$.