В основании тетраэдра SABC лежит равносторонний треугольник ABC со стороной 4. Найдите градусную меру угла между плоскостями (SAC) и (ABC), если SA = 2√7 и ребро SB перпендикулярно (ABC).

Так как ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, то точка $B$ является проекцией вершины $S$ на основание.

Основание $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $4$, значит

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAB$. Он прямоугольный при $B$, потому что $SB \perp (ABC)$, а значит $SB \perp AB$.

По условию:

Тогда по теореме Пифагора:

Подставим значения:

Теперь нужно найти угол между плоскостями $(SAC)$ и $(ABC)$. Эти плоскости пересекаются по прямой $AC$. Значит, искомый угол — это двугранный угол при ребре $AC$.

Чтобы найти его, проведём сечение плоскостью, перпендикулярной $AC$.

Пусть $M$ — середина $AC$. В равностороннем треугольнике медиана $BM$ является также высотой, поэтому

Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $4$:

Также $SB \perp (ABC)$, значит $SB$ перпендикулярно любой прямой основания, в частности

Следовательно, плоскость $SBM$ перпендикулярна $AC$. Она пересекает плоскость основания $(ABC)$ по прямой $BM$, а плоскость $(SAC)$ — по прямой $SM$.

Значит, угол между плоскостями $(SAC)$ и $(ABC)$ равен углу между прямыми $SM$ и $BM$, то есть углу $\angle SMB$.

Рассмотрим треугольник $SBM$. В нём:

так как $SB \perp (ABC)$, а $BM$ лежит в плоскости основания.

Кроме того,

и

Значит, треугольник $SBM$ — прямоугольный равнобедренный. Его острые углы равны по $45^\circ$.

Следовательно,

Ответ: