В равнобедренном треугольнике ABC на основании AC взяты точки D и E так, что AD = CE. Доказать, что треугольник DBE равнобедренный.

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Значит,

и углы при основании равны:

На основании $AC$ взяты точки $D$ и $E$, причем

Так как точки $D$ и $E$ лежат на прямой $AC$, то луч $AD$ лежит на той же прямой, что и $AC$, а луч $CE$ — на той же прямой, что и $CA$. Поэтому

а

Но $\angle BAC = \angle BCA$, следовательно,

Теперь рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBE$.

У них:

поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный;

по условию;

как доказано выше.

Значит, треугольники $ABD$ и $CBE$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны:

А это означает, что в треугольнике $DBE$ две стороны равны. Следовательно, треугольник $DBE$ равнобедренный.