Хорда нижнего основания цилиндра отсекает от окружности дугу в 120 градусов. Отрезок соединяющий центр верхнего основания с серединой данной хорды равен 4√2 см и образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Для решения задачи найдем сначала параметры цилиндра, а затем вычислим площадь осевого сечения.

Шаг 1: Анализ дуги и хорды

Из условия задачи хорда нижнего основания цилиндра отсекает от окружности дугу в 120 градусов. Так как хорда отсекает дугу в 120 градусов, она также отсекает центральный угол в 120 градусов.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$. В треугольнике, образованном радиусами, проведенными к концам хорды, и самой хордой, центральный угол равен 120 градусов. Такой треугольник является равнобедренным, и, используя косинус угла, можно найти длину хорды:

Таким образом, длина хорды нижнего основания цилиндра равна $R\sqrt{3}$.

Шаг 2: Использование отрезка, соединяющего центр верхнего основания и середину хорды

Согласно условию, отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой данной хорды, равен $4\sqrt{2}$ см и образует с плоскостью основания угол 45 градусов.

Обозначим высоту цилиндра как $h$. Этот отрезок является проекцией высоты цилиндра на линию, соединяющую центры верхнего и нижнего оснований и перпендикулярную хордe. Так как угол наклона отрезка к плоскости основания равен 45 градусов, можем записать:

Отсюда находим $h$:

Шаг 3: Площадь осевого сечения цилиндра

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания и высоте цилиндра.

1. Диаметр основания $D = 2R$.
2. Высота цилиндра $h = 8$ см.

Площадь осевого сечения $S$ равна:

Шаг 4: Нахождение радиуса основания $R$

Так как отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой хорды, равен $4\sqrt{2}$ см, а расстояние от центра основания до середины хорды составляет $\frac{R\sqrt{3}}{2}$, можем составить уравнение, учитывающее, что гипотенуза в треугольнике образуется из проекции $h$ и расстояния от центра нижнего основания до середины хорды:

Подставляем $h = 8$:

Квадратим обе стороны:

Решаем это уравнение относительно $R$: