точка лежащая на окружности верхнего основания цилиндра соединена с точкой лежащей на окружности нижнего основания. Угол между проведенной прмой и осью цилинлра 45. Найдите радиус цилиндра если длина отрезка , соединющего выбранные точки равна 7 корень 2 а радиус цилиндра равен его высоте

Для решения задачи обозначим радиус цилиндра как $R$, а высоту цилиндра как $h$. По условию задачи, радиус цилиндра равен его высоте, то есть $R = h$.

Дано:

1. Длина отрезка, соединяющего выбранные точки, равна $7\sqrt{2}$.
2. Угол между этим отрезком и осью цилиндра равен $45^\circ$.
3. Радиус цилиндра равен его высоте ($R = h$).

Решение:

1. Понимание геометрии задачи:

• Точка на верхнем основании цилиндра имеет координаты $(R \cos\phi, R \sin\phi, h)$, где $\phi$ — полярный угол.
• Точка на нижнем основании цилиндра имеет координаты $(R \cos\psi, R \sin\psi, 0)$, где $\psi$ — другой полярный угол.

Мы соединяем эти точки прямой линией, образующей угол $45^\circ$ с осью цилиндра ($z$-осью).

2. Геометрические свойства:

Длина отрезка между точками равна $7\sqrt{2}$. Отрезок соединяет точки с координатами:

• Точка $A$: $(R \cos\phi, R \sin\phi, h)$,
• Точка $B$: $(R \cos\psi, R \sin\psi, 0)$.

Длина отрезка $AB$ вычисляется по формуле:

Учитывая, что радиус равен высоте ($R = h$), подставим это в формулу:

3. Условие угла $45^\circ$:

Угол между прямой $AB$ и осью $z$ ($h$) можно найти через косинус:

Так как $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

Отсюда:

4. Уравнение для длины отрезка:

По условию задачи длина $AB = 7\sqrt{2}$. Подставим это значение:

Упростим:

5. Проверка:

Высота цилиндра равна радиусу ($h = R$), следовательно, высота тоже равна $7$. Условие длины отрезка $AB = 7\sqrt{2}$ выполняется.

Ответ:

Радиус цилиндра равен $\mathbf{7}$.