В прямоугольном параллелепипеде АBCDA1B1C1D1, через точку М диагонали А1С,такую что А1М:МС (1:4) проведена прямая МК,параллельная АА1,где точка К принадлежит плоскасти грани АВСД. Найдите площадь треугольника МКС, если АА1=40, АВ=15 корень из 2. АВСД -квадрат

Чтобы найти площадь треугольника $MKC$ в прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, начнем с анализа геометрии параллелепипеда и последовательно решим задачу.

Шаг 1: Параметры параллелепипеда

1. Так как $ABCD$ – квадрат, это значит, что $AB = AD$.
2. Нам дано, что $AB = 15 \sqrt{2}$. Площадь квадрата $ABCD$ равна $(15 \sqrt{2})^2 = 450$.
3. Высота параллелепипеда равна $AA_1 = 40$.

Шаг 2: Координаты вершин параллелепипеда

Для удобства решения расположим параллелепипед в системе координат:

• Пусть $A$ будет в начале координат: $A(0, 0, 0)$.
• Тогда:
  • $B(15\sqrt{2}, 0, 0)$,
  • $D(0, 15\sqrt{2}, 0)$,
  • $C(15\sqrt{2}, 15\sqrt{2}, 0)$,
  • $A_1(0, 0, 40)$,
  • $B_1(15\sqrt{2}, 0, 40)$,
  • $D_1(0, 15\sqrt{2}, 40)$,
  • $C_1(15\sqrt{2}, 15\sqrt{2}, 40)$.

Шаг 3: Координаты точки $M$ на диагонали $A_1C$

1. Точка $M$ делит диагональ $A_1C$ в отношении $1:4$, значит, мы можем использовать формулу деления отрезка в данном отношении.
2. Координаты точки $C$ — $(15\sqrt{2}, 15\sqrt{2}, 0)$, а $A_1$ — $(0, 0, 40)$.
3. Используем формулу деления отрезка в отношении $m:n$ для нахождения координат точки $M$: $$M = \left( \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m + n}, \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m + n}, \frac{n \cdot z_1 + m \cdot z_2}{m + n} \right)$$ Подставляя значения, получаем: $$M = \left( \frac{4 \cdot 0 + 1 \cdot 15\sqrt{2}}{1 + 4}, \frac{4 \cdot 0 + 1 \cdot 15\sqrt{2}}{1 + 4}, \frac{4 \cdot 40 + 1 \cdot 0}{1 + 4} \right)$$ $$M = \left( 3\sqrt{2}, 3\sqrt{2}, 32 \right)$$