сформулируйте и докажите утверждение о том,что высота прямоугольного треугольника,проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники!

Утверждение.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, делит данный треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику и друг другу.

Доказательство.
Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Проведём высоту $CD$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Тогда $D$ — точка на гипотенузе, а $CD \perp AB$.

Рассмотрим треугольники $ABC$, $ACD$ и $CBD$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой.
В треугольнике $ACD$ угол $D$ прямой, так как $CD \perp AB$. Кроме того, угол $A$ у треугольников $ABC$ и $ACD$ общий.

Значит, треугольники $ABC$ и $ACD$ имеют по два равных угла. Следовательно,

Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $CBD$.
В треугольнике $CBD$ угол $D$ прямой, так как $CD \perp AB$. В треугольнике $ABC$ угол $C$ тоже прямой. Кроме того, угол $B$ у треугольников $ABC$ и $CBD$ общий.

Значит, треугольники $ABC$ и $CBD$ также имеют по два равных угла. Следовательно,

Так как оба малых треугольника подобны одному и тому же треугольнику $ABC$, то они подобны и между собой:

Итак, высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, действительно разделяет его на два треугольника, подобные исходному треугольнику и друг другу.