Хорда основания цилиндра равна 16 см и удалена от центра этого основания на 6 см. Отрезок, соединяющий центр другого основания цилиндра с концом данной хорды, образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите объем цилиндра.

Для решения задачи сначала рассмотрим её ключевые элементы:

1. Длина хорды основания цилиндра равна $16$ см. Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности и лежащий в плоскости основания цилиндра.
2. Расстояние от хорды до центра основания цилиндра составляет $6$ см. Это расстояние — перпендикуляр, опущенный из центра основания на хорду.
3. Угол наклона отрезка, соединяющего центр другого основания цилиндра с концом хорды, к плоскости основания составляет 45 градусов. Этот отрезок — диагональ боковой поверхности цилиндра.

Шаг 1: Определим радиус основания цилиндра

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$. Поскольку центр окружности основания удален от хорды на $6$ см, можно рассмотреть треугольник, образованный радиусом, половиной хорды и этим расстоянием.

Хорда делится пополам из-за симметрии, следовательно, каждая её половина составляет $8$ см. Получаем прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза $R$ (радиус основания),
• один катет равен $6$ см (расстояние от центра основания до хорды),
• второй катет равен $8$ см (половина хорды).

Используем теорему Пифагора:

Шаг 2: Найдём высоту цилиндра

Пусть высота цилиндра равна $H$. Из условия задачи известно, что отрезок, соединяющий центр второго основания цилиндра с концом хорды, образует угол $45^\circ$ с плоскостью основания. Этот отрезок можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника, в котором один катет равен высоте $H$ цилиндра, а другой — радиусу основания $R = 10$ см.

Так как угол наклона составляет $45^\circ$, катет $H$ равен катету, лежащему в плоскости основания, то есть $10$ см. Поэтому:

Шаг 3: Вычислим объём цилиндра

Объём цилиндра $V$ рассчитывается по формуле:

Подставим найденные значения $R = 10$ см и $H = 10$ см:

Ответ:

Объём цилиндра равен $1000 \pi$ кубических сантиметров.