Кути трикутника пропорційні числам 1, 2 і 3. Доведіть, що цей трикутник прямокутний

Щоб довести, що трикутник із кутами, пропорційними числам $1$, $2$ і $3$, є прямокутним, скористаємося основними властивостями трикутників та поняттям про пропорційність кутів.

Крок 1: Позначимо кути трикутника

Позначимо кути трикутника як $\alpha$, $\beta$ і $\gamma$, і нам відомо, що їх співвідношення дорівнює $1 : 2 : 3$. Це означає, що ми можемо записати кути так:

де $x$ — деяке додатне число.

Крок 2: Використовуємо суму кутів трикутника

Знаємо, що сума кутів у будь-якому трикутнику дорівнює $180^\circ$. Тому для нашого трикутника справедливо рівняння:

Підставимо значення кутів у вигляді $x$, $2x$ і $3x$:

Це спрощується до:

Звідси знайдемо $x$:

Крок 3: Обчислюємо значення кожного кута

Тепер, знаючи $x = 30^\circ$, можемо знайти кожен з кутів трикутника:

Отже, кути трикутника дорівнюють $30^\circ$, $60^\circ$ і $90^\circ$.

Крок 4: Робимо висновок

Оскільки один з кутів трикутника дорівнює $90^\circ$, то цей трикутник є прямокутним за визначенням.

Відповідь

Таким чином, ми довели, що трикутник із кутами, пропорційними числам $1$, $2$ і $3$, є прямокутним, оскільки один з його кутів дорівнює $90^\circ$.