Кути трикутника пропорційні числам 1,2 і 3. Знайдіть найбільшу сторону трикутника, якщо найменша його сторона дорівнює 4 см.

Для того, щоб знайти найбільшу сторону трикутника, знаючи, що кути пропорційні числам 1, 2 і 3, скористаємося кількома кроками.

1. З'ясуємо значення кутів трикутника

Сума всіх кутів трикутника завжди дорівнює $180^\circ$. Кути пропорційні до чисел 1, 2 і 3, тому можемо позначити їх як:

• $\alpha = 1x$
• $\beta = 2x$
• $\gamma = 3x$

Отже, маємо рівняння:

Підставимо пропорційні вирази:

Тепер можемо знайти самі кути:

• $\alpha = 30^\circ$
• $\beta = 60^\circ$
• $\gamma = 90^\circ$

Отже, трикутник є прямокутним, де найбільший кут $90^\circ$, а отже, найбільша сторона — це гіпотенуза.

2. Використаємо співвідношення сторін у прямокутному трикутнику

Оскільки один з кутів трикутника дорівнює $90^\circ$, можемо застосувати тригонометричні функції для розв’язку задачі. Кути між сторонами пропорційні до синусів цих кутів. Найменша сторона трикутника відноситься до кута $30^\circ$ і дорівнює 4 см.

Згадаємо співвідношення сторін у прямокутному трикутнику з кутами $30^\circ$, $60^\circ$ та $90^\circ$: відомо, що сторони відносяться як 1 : $\sqrt{3}$ : 2. У цьому випадку найменша сторона відповідає відрізку, протилежному куту $30^\circ$, тому вона становить 1 частину зі співвідношення.

Найбільша сторона — це гіпотенуза, яка відповідає 2 частинам зі співвідношення.

3. Знайдемо найбільшу сторону

Якщо найменша сторона дорівнює 4 см, а це 1 частина пропорції, то найбільша сторона (гіпотенуза), яка відповідає 2 частинам, дорівнюватиме:

Відповідь:

Найбільша сторона трикутника дорівнює 8 см.