Найдите площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию с основаниями a и b.

Пусть основания прямоугольной трапеции равны \( a \) и \( b \), а высота равна \( h \). Так как в трапецию вписан круг, он касается обоих оснований, значит расстояние между основаниями равно двум радиусам:

\[ h = 2r \]

Для четырёхугольника с вписанной окружностью суммы противоположных сторон равны. В прямоугольной трапеции одна боковая сторона равна \( h \), а другая равна \( l \), поэтому:

\[ a + b = h + l \]

Наклонная боковая сторона образует прямоугольный треугольник:

\[ l^2 = h^2 + (a-b)^2 \]

Отсюда получается:

\[ h = \frac{2ab}{a+b} \]

Тогда радиус вписанного круга:

\[ r = \frac{h}{2} = \frac{ab}{a+b} \]

Площадь круга:

\[ S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{ab}{a+b}\right)^2 \]

Ответ: \( S = \frac{\pi a^2b^2}{(a+b)^2} \).

0 0 Пожаловаться