Плоскость α, перпендикулярная катету AC прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет AC в точке E, а гипотенузу AB — в точке F.

а) Докажите, что EF ∥ BC

б) Докажите, что ∆AEF~∆ACB

в) Найдите отрезок EF, если AE : EC = 3 : 4, BC = 21 см

Дано:

• $ABC$ — прямоугольный треугольник, $\angle C=90^{\circ }$;

• плоскость $\alpha \perp AC$;

• $\alpha$ пересекает $AC$ в точке $E$, а $AB$ — в точке $F$;

• $AE:EC=3:4$, $BC=21$ см.

а) Докажем, что $EF\parallel BC$

Так как плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$, то любая прямая в плоскости $\alpha$, проходящая через точку пересечения $E$, перпендикулярна $AC$. В частности:

По условию треугольник $ABC$ прямоугольный, значит:

Получается, что две прямые $EF$ и $BC$ перпендикулярны одной и той же прямой $AC$. Если две прямые в одной плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Следовательно:

б) Докажем, что $△AEF\sim △ACB$

Так как:

то угол $AEF$ равен углу $ACB$, так как это соответственные углы при параллельных прямых:

Кроме того, угол при вершине $A$ у обоих треугольников общий:

Следовательно, два угла одного треугольника равны двум углам другого, значит треугольники подобны по двум углам:

Соответствие вершин:

в) Найдем $EF$

Из условия:

Значит весь отрезок $AC$ состоит из $3+4=7$ частей.

Тогда:

Так как треугольники подобны:

Подставляем известные значения:

Отсюда:

Следовательно:

Ответ:
а) $EF\parallel BC$;
б) $△AEF\sim △ACB$;
в) $EF=9$ см.