В правильной треугольной пирамиде каждое из боковых ребер равно m и наклонено к основанию под углом a, определите радиус шара, описанного около этой пирамиды Помогите пожалуйста

Для того чтобы найти радиус $R$ шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, где каждое из боковых ребер равно $m$ и наклонено к основанию под углом $\alpha$, можно воспользоваться следующими шагами и формулами.

Шаг 1: Найдём высоту пирамиды $h$

Правильная треугольная пирамида имеет правильный треугольник в основании и равные боковые рёбра. Пусть точка $O$ – это центр основания (точка пересечения медиан). Тогда высота пирамиды $h$ проходит через вершину $S$ пирамиды и точку $O$.

Из условия задачи нам известно, что боковое ребро $m$ наклонено к основанию под углом $\alpha$. Это значит, что высота $h$ связана с боковым ребром $m$ следующим соотношением:

Шаг 2: Найдём радиус описанной окружности основания $R_{\text{осн}}$

Основание пирамиды – правильный треугольник со стороной $a$, который можно найти из треугольника, образованного вершиной $S$, центром основания $O$ и одной из вершин основания. В этом треугольнике гипотенуза – это боковое ребро $m$, а прилежащий угол – это $\alpha$.

Из тригонометрии имеем:

Отсюда находим сторону основания $a$:

Теперь можно найти радиус описанной окружности $R_{\text{осн}}$ правильного треугольника со стороной $a$. Радиус описанной окружности для правильного треугольника выражается формулой:

Подставляем значение $a$:

Шаг 3: Используем формулу для радиуса описанного шара $R$

Радиус $R$ описанного около пирамиды шара можно найти с помощью формулы, которая связывает радиус шара, высоту пирамиды $h$ и радиус описанной окружности основания $R_{\text{осн}}$:

Подставим найденные значения $R_{\text{осн}}$ и $h$:

Раскроем скобки и упростим выражение:

Вынесем $m^2$ за скобки:

Итоговый ответ

Радиус $R$ описанного шара около правильной треугольной пирамиды с боковым ребром $m$, наклонённым к основанию под углом $\alpha$, равен:

Таким образом, зная длину бокового ребра $m$ и угол наклона $\alpha$, можно определить радиус описанного шара.