Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Пусть \( ABC \) — прямоугольный треугольник, \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 30^\circ \). Тогда катет, лежащий против угла \( 30^\circ \), — это \( BC \), а гипотенуза — \( AB \).

Отразим треугольник \( ABC \) относительно прямой \( AC \). Точка \( B \) перейдёт в точку \( D \). Тогда \( AB = AD \), а так как \( AC \) является осью симметрии, то \( \angle BAD = 60^\circ \).

Получается треугольник \( ABD \), у которого две стороны равны и угол между ними равен \( 60^\circ \). Значит, он равносторонний: \( AB = BD \).

При отражении \( C \) — середина отрезка \( BD \), поэтому \( BD = 2BC \). Следовательно, \( AB = 2BC \), то есть \( BC = \frac{1}{2}AB \).

Обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен \( 30^\circ \).

Доказательство: пусть \( BC = \frac{1}{2}AB \). Отразим треугольник относительно \( AC \). Тогда \( BD = 2BC = AB \), а также \( AD = AB \). Значит, треугольник \( ABD \) равносторонний, поэтому \( \angle BAD = 60^\circ \). Прямая \( AC \) делит этот угол пополам, значит \( \angle BAC = 30^\circ \).

0 0 Пожаловаться