Параллелограмм АВСD лежит в плоскости α, если ... 1. A∈α; B∈α
2. A∈α; C∈α
3. A∈α; B∈α; O∈α; O=AC∩BD

Чтобы параллелограмм $ABCD$ лежал в плоскости $\alpha$, нужно, чтобы все его вершины $A$, $B$, $C$, и $D$ принадлежали этой плоскости. Давайте рассмотрим предложенные условия.

1. $A \in \alpha$; $B \in \alpha$

Если точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$, этого недостаточно для того, чтобы утверждать, что весь параллелограмм $ABCD$ находится в $\alpha$. Из принадлежности двух точек плоскости следует, что прямая $AB$ лежит в $\alpha$, но положение остальных точек $C$ и $D$ не определено. Они могут находиться вне плоскости $\alpha$.

2. $A \in \alpha$; $C \in \alpha$

Если точки $A$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$, ситуация аналогична первому условию. Мы знаем, что прямая $AC$ лежит в $\alpha$, но положение остальных точек $B$ и $D$ не определено. Следовательно, это условие также недостаточно.

3. $A \in \alpha$; $B \in \alpha$; $O \in \alpha$; $O = AC \cap BD$

Это условие является достаточным. Рассмотрим почему:

• $A \in \alpha$ и $B \in \alpha$ означают, что $AB \subset \alpha$.
• Точка $O$, определённая как точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, также принадлежит $\alpha$.
• Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в одной точке $O$ по свойству параллелограмма. Если $A$, $B$, и $O$ принадлежат $\alpha$, то обе диагонали $AC$ и $BD$ лежат в $\alpha$.
• Поскольку все вершины $A$, $B$, $C$, и $D$ лежат на пересечении диагоналей, то весь параллелограмм находится в плоскости $\alpha$.

Вывод

Для того чтобы параллелограмм $ABCD$ лежал в плоскости $\alpha$, необходимо выполнение условия 3: $A \in \alpha$, $B \in \alpha$, и $O \in \alpha$, где $O = AC \cap BD$. Это условие гарантирует, что все вершины параллелограмма лежат в одной плоскости.