Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он является квадратом.

Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\).

Рассмотрим диагонали как векторы: одна имеет направление \((a; b)\), другая — \((a; -b)\).

Если диагонали перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

\[a\cdot a+b\cdot(-b)=0\]

Получаем:

\[a^2-b^2=0\]

Значит:

\[a^2=b^2\]

Так как стороны прямоугольника положительные, то \(a=b\).

Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом. Следовательно, данный прямоугольник — квадрат.

0 0 Пожаловаться