В прямоугольном треугольнике ABC высота CH, проведённая из вершины прямого угла, в четыре раза меньше гипотенузы. Найдите острые углы треугольника ABC.

Пусть треугольник $ABC$ прямоугольный, причём прямой угол находится в вершине $C$. Высота $CH$, проведённая к гипотенузе $AB$, в четыре раза меньше гипотенузы, то есть

Обозначим гипотенузу через $c$, а острые углы треугольника — через $\alpha$ и $\beta$. Тогда

Высоту из прямого угла к гипотенузе можно выразить через катеты:

Если выразить катеты через гипотенузу и острый угол $\alpha$, то

Тогда высота равна

По условию:

Так как $c\neq 0$, делим на $c$:

Используем формулу двойного угла:

Значит,

Отсюда

Следовательно,

Так как острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают $90^\circ$, получаем:

Ответ: острые углы треугольника равны $15^\circ$ и $75^\circ$.