В равнобедренной трапеции основания относятся как 1:3, диагональ равна 42 см. Середина одной из боковых сторон и конец большего основания, не принадлежащий этой стороне, соединены отрезком. На какие части разделил этот отрезок диагональ трапеции?

Разберу через координаты: так проще аккуратно увидеть, в каком отношении диагональ пересекает указанный отрезок, а затем перевести это отношение в сантиметры.

Обозначим равнобедренную трапецию $ABCD$, где $AD$ — большее основание, $BC$ — меньшее основание.

Пусть основания относятся как $1:3$, то есть

Так как трапеция равнобедренная, удобно расположить её симметрично:

Диагональ $AC$ равна $42$ см.

Возьмём середину боковой стороны $AB$. Обозначим её через $M$. Тогда

По условию точку $M$ соединяют с концом большего основания, не принадлежащим стороне $AB$, то есть с точкой $D$. Получаем отрезок $MD$. Он пересекает диагональ $AC$ в некоторой точке $P$.

Найдём, в каком отношении точка $P$ делит диагональ $AC$.

Точка на диагонали $AC$ имеет вид:

То есть

Точка на отрезке $MD$ имеет вид:

То есть

Приравняем координаты.

По $y$-координате:

откуда

По $x$-координате:

Подставляем $t=\frac12-\frac s2$:

Упрощаем:

Переносим:

значит

Тогда