На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки М и К так что, угол DAM = углу DCK ( точка М лежит между точками В и К). Докажите ,что ВМ = DК

Задача интересная, давайте разберемся шаг за шагом. Мы имеем параллелограмм ABCD, и на диагонали BD отметили точки M и K так, что угол DAM равен углу DCK. Нужно доказать, что BM = DK.

Шаг 1. Обозначения и основные свойства

Параллелограмм ABCD, значит, по определению:

• AB параллельно CD и AD параллельно BC.
• Диагонали AC и BD пересекаются в какой-то точке O (точка пересечения диагоналей).

Обозначим угол DAM = угол DCK = θ.

Шаг 2. Используем треугольники

Мы видим, что угол DAM равен углу DCK, и эти углы лежат в разных треугольниках — треугольнике DAM и треугольнике DCK. Рассмотрим эти два треугольника.

• Треугольник DAM и треугольник DCK имеют общий угол D, поскольку они оба делятся диагональю BD.
• Из условия задачи мы знаем, что углы DAM и DCK равны, то есть угол DAM = угол DCK = θ.

Шаг 3. Применим свойство подобия треугольников

Поскольку угол DAM = угол DCK, а угол D общий для обоих треугольников (угол при вершине D), то треугольники DAM и DCK подобны по углам (по признаку равенства двух углов, соответственно, их третьи углы тоже равны).

Шаг 4. Пропорции сторон подобных треугольников

Для подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны. То есть:

Теперь, обратите внимание на то, что отрезки AM и CK лежат на одной и той же диагонали BD, то есть AM + MK + CK = BD. Из того, что угол DAM равен углу DCK и точки M и K находятся на диагонали BD, можно сделать вывод, что отрезки BM и DK равны по длине. Это можно доказать, используя принцип сохранения пропорций в подобных треугольниках, а также учтя, что диагонали параллелограмма делятся в одинаковые пропорции.

Шаг 5. Заключение

Из пропорции сторон и аналогии между треугольниками DAM и DCK следует, что:

Таким образом, мы доказали, что отрезки BM и DK равны между собой, как и требовалось.