Дан угол ВОА. Между точками В и О взята точка М, а между точками О и А- точка N так, что ОМ=ОN, угол ОМА= углу ОNВ. Докажите, что угол В= углу А и BN=MA.

Для того чтобы доказать, что угол ∠B = ∠A и BN = MA, начнем с анализа данной задачи. Мы имеем угол ∠ВОА, на отрезке ВО выбрана точка М, а на отрезке ОА — точка N, причем ОМ = ОN и угол ∠ОМА = углу ∠ОНВ.

Шаг 1: Используем условие о равенстве отрезков ОМ и ОN.

Из условия задачи известно, что ОМ = ОN. Это говорит нам о том, что треугольники OMB и ONА — равнобедренные, поскольку у каждого из них две стороны равны: OB и OM в треугольнике OMB, а ON и OA в треугольнике ONA.

Шаг 2: Рассмотрим равенство углов.

Также по условию задачи ∠ОМА = ∠ОНВ. Это равенство углов является ключевым моментом для доказательства. Заметим, что эти углы расположены в различных треугольниках, но они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых. Это позволяет нам применить симметричные рассуждения для сравнения треугольников.

Шаг 3: Используем теорему о равенстве треугольников.

Для того чтобы доказать равенство углов ∠B и ∠A, обратимся к треугольникам OMB и ONА. У нас есть следующее:

• OM = ON (по условию),
• ∠ОМА = ∠ОНВ (по условию),
• OB = OA (так как углы при вершинах B и A равны, а также треугольники равнобедренные).

На основании признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними можно утверждать, что треугольники OMB и ONА равны по трем элементам.

Шаг 4: Равенство углов ∠B и ∠A.

Из равенства треугольников OMB и ONА следует, что их соответствующие углы равны. Следовательно, ∠B = ∠A.

Шаг 5: Равенство отрезков BN и MA.

Поскольку треугольники OMB и ONА равны, их соответствующие стороны также равны. Таким образом, BN = MA.

Заключение:

Мы доказали, что треугольники OMB и ONА равны, следовательно, ∠B = ∠A, а также BN = MA.