Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 20 см, а радиус вписанной в него окружности — 4 см. Найдите длины катетов, если больший из них равен среднему арифметическому длин меньшего катета и гипотенузы.

Обозначим меньший катет через \(a\), больший — через \(b\), гипотенузу — \(c\). По условию \(c=20\).

Больший катет равен среднему арифметическому меньшего катета и гипотенузы:

\[b=\frac{a+20}{2}\]

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен:

\[r=\frac{a+b-c}{2}\]

Подставим \(r=4\), \(c=20\):

\[4=\frac{a+b-20}{2}\]

\[a+b=28\]

Теперь подставим \(b=\frac{a+20}{2}\):

\[a+\frac{a+20}{2}=28\]

\[2a+a+20=56\]

\[3a=36\]

\[a=12\]

Тогда:

\[b=28-12=16\]

Ответ: катеты равны 12 см и 16 см.

0 0 Пожаловаться