Как доказать теорему, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы?

Пусть \(ABC\) — прямоугольный треугольник, \(\angle C = 90^\circ\), а \(AB\) — гипотенуза. Проведём медиану \(CM\) к гипотенузе, значит точка \(M\) — середина \(AB\).

Около прямоугольного треугольника можно описать окружность так, что гипотенуза будет её диаметром. Тогда середина гипотенузы \(M\) — это центр окружности.

Точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на этой окружности, поэтому отрезки \(MA\), \(MB\) и \(MC\) — радиусы одной окружности. Значит, они равны:

\[MA = MB = MC\]

Так как \(M\) — середина гипотенузы, то:

\[MA = MB = \frac{AB}{2}\]

Следовательно:

\[CM = \frac{AB}{2}\]

То есть медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

0 0 Пожаловаться