К двум окружностям с центрами O и O₁, касающимся извне в точке A, проведена общая внешняя касательная BC (B и C — точки касания). Докажите, что угол BAC — прямой.

Пусть радиусы окружностей равны \(r\) и \(R\). Так как окружности касаются извне в точке \(A\), центры \(O\), \(A\), \(O_1\) лежат на одной прямой.

Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной, значит \(OB \perp BC\) и \(O_1C \perp BC\). Поэтому \(OB\) и \(O_1C\) параллельны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, связанные с общей касательной. Из подобия таких треугольников получается, что направления прямых \(AB\) и \(AC\) взаимно перпендикулярны: одна идёт к точке касания первой окружности, другая — ко второй.

Значит, \(AB \perp AC\), поэтому \(\angle BAC = 90^\circ\). Следовательно, угол \(BAC\) — прямой.

0 0 Пожаловаться