Угол между образующей и высотой конуса равен 45°, а радиус основания конуса 4√3см. Найти образующую конуса

Для решения задачи давайте разберем, что нам дано и какие формулы применим.

Дано:

1. Угол между образующей и высотой конуса равен $45^\circ$.
2. Радиус основания конуса $R = 4\sqrt{3}$ см.

Найти:

Длину образующей $l$ конуса.

Решение:

1. Понимание задачи: так как угол между образующей и высотой равен $45^\circ$, это подсказывает, что между образующей $l$, высотой $h$ и радиусом $R$ основания конуса образуется прямоугольный треугольник.

2. Запишем треугольник: В прямоугольном треугольнике, образующем сечение конуса, у нас есть следующие элементы:

   • Образующая $l$, которая является гипотенузой.
   • Высота $h$ конуса, которая образует угол $45^\circ$ с гипотенузой.
   • Радиус основания $R$, который перпендикулярен высоте и находится напротив угла $45^\circ$.

3. Применим тригонометрические функции: так как угол $45^\circ$, воспользуемся свойством треугольников с углами $45^\circ$. В таком треугольнике катет $R$ равен произведению гипотенузы $l$ на синус угла:

   $$\sin 45^\circ = \frac{R}{l}$$

   Подставим значение синуса:

   $$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Тогда:

   $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{l}$$

4. Найдем $l$: выразим $l$ из этого уравнения:

   $$l = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2}}$$

   Упростим выражение:

   $$l = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6}$$

Ответ:

Длина образующей конуса $l = 4\sqrt{6}$ см.