Плоскость, проходящая через вершину конуса и хорду АВ основания, образует с высотой конуса угол в 30 градусов и удалена от центра основания на 3 дм. Найдите объем конуса, если длина хорды АВ равна 2 дм.

Для решения задачи обозначим некоторые элементы конуса и воспользуемся известными геометрическими соотношениями.

1. Введение обозначений и построение задачи: Пусть $O$ — центр основания конуса, $V$ — его вершина, а $AB$ — хорда основания длиной $2$ дм. Расстояние от центра основания $O$ до плоскости, проходящей через вершину $V$ и хорду $AB$, составляет $3$ дм. Угол между этой плоскостью и высотой конуса равен $30^\circ$.

2. Рассмотрим сечение конуса: Плоскость, проходящая через вершину конуса и хорду основания, образует осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник $VAB$. В этом сечении высота $VO$ делит хорду $AB$ пополам, следовательно, $AO = BO = 1$ дм, так как $AB = 2$ дм.

3. Используем условие об угле между высотой и сечением: Угол между высотой конуса $VO$ и сечением $VAB$ равен $30^\circ$. Это значит, что угол $\angle VOM = 30^\circ$, где $M$ — точка на плоскости основания, являющаяся проекцией центра основания на плоскость сечения.

4. Найдем высоту конуса: Из условия задачи известно, что расстояние от центра основания $O$ до плоскости, проходящей через вершину конуса и хорду $AB$, составляет $3$ дм. Это расстояние является проекцией радиуса основания $R$ на направление, перпендикулярное плоскости $VAB$. Таким образом, $OM = 3$ дм.

   Используя формулу проекции радиуса на плоскость, можем выразить $R$ через угол наклона:

   $$R = \frac{OM}{\cos(30^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3} \, \text{дм}.$$

5. Используем треугольник $VOM$ для нахождения высоты $VO$: Поскольку $\angle VOM = 30^\circ$ и $OM = 3$ дм, высота $VO$ (которая является противолежащим катетом) может быть найдена через тангенс угла:

   $$VO = OM \cdot \tan(30^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \, \text{дм}.$$

6. Рассчитаем объем конуса: Объем конуса вычисляется по формуле:

   $$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h,$$

   где $R = 2\sqrt{3}$ дм — радиус основания, а $h = VO = \sqrt{3}$ дм — высота конуса.

   Подставим значения:

   $$V = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 12 \cdot \sqrt{3} = 4 \pi \sqrt{3} \, \text{дм}^3.$$

Ответ: Объем конуса равен $4 \pi \sqrt{3}$ кубических дециметров.