Куб вписан в правильную четырёхугольную пирамиду так, что четыре его вершины находятся на боковых рёбрах пирамиды, а четыре другие вершины — на её основании. Длина стороны основания пирамиды равна 2, высота пирамиды — 4. Найдите площадь S поверхности куба. В ответ запишите значение выражения 3S.

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Дано:

• Правильная четырёхугольная пирамида с основанием квадрат со стороной $a = 2$ и высотой $h = 4$.

• Вписанный куб: 4 вершины на боковых рёбрах, 4 вершины на основании.

• Нужно найти $3S$, где $S$ — площадь поверхности куба.

1. Обозначим координаты пирамиды

Пусть квадратное основание пирамиды лежит в плоскости $z=0$, а вершина $V$ — на высоте $z=h=4$. Координаты основания:

Вершина пирамиды:

Так как сторона основания $2$, половина стороны — $1$, отсюда координаты вершин.

2. Геометрия вписанного куба

Пусть сторона куба равна $x$. Мы знаем, что куб «смотрит» так, что 4 вершины на основании и 4 на боковых рёбрах.

Рассмотрим куб, расположенный «по диагонали» к основанию. Если смотреть сверху, куб вписан так, что его горизонтальная проекция — квадрат с центром в центре основания.

Пусть нижняя грань куба лежит на основании пирамиды $z=0$, тогда верхняя грань пересекает боковые рёбра.

3. Боковое ребро и соотношение

Возьмём ребро пирамиды $A V$. Его координаты: $A=(-1,-1,0)$, $V=(0,0,4)$.
Параметрическая форма:

Вершина куба на этом ребре находится на высоте $z = x$ (сторона куба равна $x$, куб «стоит» на основании). Тогда:

Координаты верхней вершины куба на этом ребре:

4. Геометрическое условие

Чтобы куб был правильным, расстояние между нижней вершиной (например, $A$ на основании) и этой верхней вершиной по горизонтали должно быть равно $x$ (стороне куба) в проекции на XY.

Проекция на XY:

Лучше рассмотреть стандартный метод: известно, что если основание куба квадрат 2D с длиной $x$ вписано в квадрат основания пирамиды так, что верхние вершины куба касаются боковых рёбер, для правильной четырехугольной пирамиды формула для стороны куба:

Лучше воспользоваться известной формулой из симметрии:

Если сторона основания пирамиды $a$, высота $h$, сторона куба $x$, то для вписанного куба:

Проверим численно:

Да, это стандартная формула для вписанного куба в правильную квадратную пирамиду.

5. Площадь поверхности куба

Площадь поверхности куба:

6. Искомое $3S$

✅ Ответ