Сечения сферы двумя параллельными плоскостями имеют длины 10π и 24π, расстояние между сечениями 7

Ответы на вопрос

Отвечает Кыдыркулов Исламбек.

Длины сечений — это длины окружностей, получающихся при пересечении сферы плоскостями.

Пусть радиусы этих окружностей равны $r_1$ и $r_2$ .

По формуле длины окружности:

C = 2\pi r

Для первого сечения:

2\pi r_1 = 10\pi

r_1 = 5

Для второго сечения:

2\pi r_2 = 24\pi

r_2 = 12

Значит, радиусы сечений равны $5$ см и $12$ см.

Пусть радиус сферы равен $R$ . Центры сечений лежат на одном радиусе сферы, значит, обе плоскости находятся по одну сторону от центра сферы. Тогда расстояния от центра сферы до плоскостей отличаются на $7$ см.

Обозначим расстояние от центра сферы до меньшего сечения через $x$ . Меньшее сечение дальше от центра сферы, потому что чем дальше плоскость от центра, тем меньше радиус сечения.

Тогда расстояние до большего сечения будет:

x - 7

Для сечения сферы справедлива формула:

R^2 = r^2 + d^2

где $r$ — радиус сечения, а $d$ — расстояние от центра сферы до плоскости сечения.

Для меньшего сечения:

R^2 = 5^2 + x^2

R^2 = 25 + x^2

Для большего сечения:

R^2 = 12^2 + (x - 7)^2

R^2 = 144 + (x - 7)^2

Приравняем:

25 + x^2 = 144 + (x - 7)^2

Раскроем скобки:

25 + x^2 = 144 + x^2 - 14x + 49

25 + x^2 = x^2 - 14x + 193

Сократим $x^2$ :

25 = -14x + 193

14x = 168

x = 12

Тогда:

R^2 = 25 + 12^2

R^2 = 25 + 144 = 169

R = 13

Площадь поверхности сферы равна:

S = 4\pi R^2

S = 4\pi \cdot 169

S = 676\pi

Ответ:

\boxed{676\pi \text{ см}^2}

Сечения сферы двумя параллельными плоскостями имеют длины 10π и 24π, расстояние между сечениями 7 см, их центры лежат на одном радиусе. Найдите площадь сферы.

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия