В конусе проведено два сечения плоскостями, параллельными плоскости основания конуса. Точками

Ответы на вопрос

Отвечает Гончар Анастасия.

Давайте подробно разберём задачу шаг за шагом.

1. Описание задачи:

У нас есть конус с высотой $H$ . Он разделён на три части плоскостями, параллельными основанию. Эти плоскости пересекают высоту конуса, деля её на три равных отрезка. Нужно найти объем средней части конуса, если объем нижней части равен 38.

2. Визуализация и понятия:

Представим конус с высотой $H$ и основанием радиусом $R$ . Сечение плоскостями, параллельными основанию, создаёт на каждом уровне сечения меньший по размеру конус. Это деление основано на геометрической прогрессии, так как сечение конуса, сделанное плоскостью, параллельной основанию, будет всегда уменьшаться пропорционально высоте.

3. Разделение конуса:

Предположим, что высота конуса равна $H$ , и его основание имеет радиус $R$ . Плоскости, которые проводят сечения, делят высоту $H$ на три равные части, каждая из которых имеет длину $\frac{H}{3}$ .

Теперь рассмотрим, что происходит с радиусом основания этих частей:

Нижняя часть конуса будет от основания до высоты $\frac{H}{3}$ , т.е. с радиусом основания $r_1 = \frac{R}{3}$ .
Средняя часть конуса будет от высоты $\frac{H}{3}$ до высоты $\frac{2H}{3}$ , т.е. с радиусом основания $r_2 = \frac{2R}{3}$ .
Верхняя часть будет от высоты $\frac{2H}{3}$ до вершины конуса, т.е. с радиусом основания $r_3 = R$ .

4. Объемы частей конуса:

Объем конуса рассчитывается по формуле:

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h

где $r$ — радиус основания конуса, $h$ — высота.

Объем нижней части (первого конуса):

Высота этого конуса — $\frac{H}{3}$ .
Радиус основания — $r_1 = \frac{R}{3}$ . Тогда объем нижней части будет:

V_1 = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{R}{3} \right)^2 \cdot \frac{H}{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{R^2}{9} \cdot \frac{H}{3} = \frac{\pi R^2 H}{81}

Из условия задачи известно, что объем нижней части равен 38, то есть:

V_1 = 38 = \frac{\pi R^2 H}{81}

Таким образом, мы можем выразить $\pi R^2 H$ :

\pi R^2 H = 38 \cdot 81 = 3078

Объем средней части (второго конуса):

Высота второй части конуса — $\frac{H}{3}$ .
Радиус основания второго конуса — $r_2 = \frac{2R}{3}$ .
Объем второго конуса (до высоты $\frac{2H}{3}$ ) будет:

V_2 = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{2R}{3} \right)^2 \cdot \frac{2H}{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{4R^2}{9} \cdot \frac{2H}{3} = \frac{8 \pi R^2 H}{81}

Теперь нужно вычесть объем нижней части, чтобы получить объем средней части. Объем средней части будет равен:

V_{\text{сред}} = V_2 - V_1 = \frac{8 \pi R^2 H}{81} - \frac{\pi R^2 H}{81} = \frac{7 \pi R^2 H}{81}

Ответы на вопрос

1. Описание задачи:

2. Визуализация и понятия:

3. Разделение конуса:

4. Объемы частей конуса:

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия