Докажите, что центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника, а около тупоугольного — вне.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и его описанную окружность. Пусть $O$ — центр этой окружности. Нужно доказать два утверждения:

1. если треугольник остроугольный, то $O$ лежит внутри треугольника;

2. если треугольник тупоугольный, то $O$ лежит вне треугольника.

Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Поэтому достаточно понять, где находится эта точка в зависимости от углов треугольника.

Докажем через углы.

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда

поскольку все вершины треугольника лежат на одной окружности с центром $O$.

Рассмотрим сторону $AB$. Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, поэтому положение $O$ относительно стороны $AB$ связано с углом $C$, который опирается на дугу $AB$.

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла. Поэтому

Теперь посмотрим на треугольник $AOB$. Он равнобедренный, потому что $OA=OB$. Значит,

Сумма углов треугольника $AOB$ равна $180^\circ$, следовательно,

Так как $\angle AOB=2\angle C$, получаем:

То есть

Аналогично можно получить:

и так далее.

Теперь рассмотрим остроугольный треугольник. В нём

Тогда величины вида

положительны. Это означает, что лучи $AO$, $BO$, $CO$ проходят внутри соответствующих углов треугольника.

Например, из равенств

следует, что точка $O$ лежит внутри угла $A$. Аналогично $O$ лежит внутри углов $B$ и $C$. Если точка лежит внутри всех трёх углов треугольника, то она лежит внутри самого треугольника.

Значит, центр описанной окружности остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Теперь пусть треугольник тупоугольный. Пусть, например,

Тогда

Это означает, что меньший центральный угол, соответствующий хорде $AB$, будет уже не $2\angle C$, а

Геометрически это означает, что центр окружности $O$ находится по другую сторону от стороны $AB$, чем вершина $C$. Иначе говоря, сторона $AB$ отделяет точку $O$ от вершины $C$.

Но если точка находится по другую сторону от одной из сторон треугольника, чем противоположная вершина, то она лежит вне треугольника. Следовательно, при $\angle C>90^\circ$ центр описанной окружности находится вне треугольника $ABC$.

Можно объяснить это и через серединный перпендикуляр. Если угол $C$ тупой, то сторона $AB$, лежащая напротив него, является наибольшей стороной треугольника. Чтобы окружность прошла через все три вершины, её центр должен находиться вне треугольника, по сторону от $AB$, противоположную вершине $C$. Поэтому центр описанной окружности тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

Итак:

• в остроугольном треугольнике все углы меньше $90^\circ$, поэтому центр описанной окружности попадает внутрь всех углов и, следовательно, внутрь треугольника;

• в тупоугольном треугольнике один угол больше $90^\circ$, и центр описанной окружности оказывается по другую сторону от противоположной стороны, значит, вне треугольника.