На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точку M, а на стороне AB — точку K такие, что BK = KM и KM || BC. Докажите, что AM = MC.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то его боковые стороны равны:

По условию $KM \parallel BC$, причём $K$ лежит на стороне $AB$, а $M$ лежит на основании $AC$. Тогда треугольники $AKM$ и $ABC$ подобны, потому что:

как один и тот же угол при вершине $A$, а также

как соответственные углы при параллельных прямых $KM \parallel BC$.

Значит,

Из подобия получаем отношение соответствующих сторон:

Обозначим

Тогда из подобия следует:

и

Но $AB = BC$, поэтому

Теперь найдём $BK$. Так как точка $K$ лежит на стороне $AB$, то

Подставим $AK = t \cdot AB$:

По условию задачи

Значит,

Так как $AB \neq 0$, делим обе части на $AB$:

Отсюда

то есть

Но $t = \frac{AM}{AC}$, значит,

Следовательно,

Так как точка $M$ лежит на отрезке $AC$, то

Если $AM = \frac{AC}{2}$, то и

Следовательно,

Что и требовалось доказать.