Геометрия, 10 класс. Если выбрать 4 случайные точки на сфере, которые образуют вершины тетраэдра, какова вероятность, что центр сферы окажется внутри полученной фигуры?

Рассмотрим 4 случайные точки на сфере, которые образуют вершины тетраэдра. Требуется найти вероятность того, что центр сферы (начало координат) лежит внутри этого тетраэдра.

Ключевое наблюдение: выбор точек на сфере равномерный и симметричный относительно центра. Поэтому задача сводится к классическому результату из вероятностной геометрии (теорема Венделя): вероятность того, что начало координат лежит внутри выпуклой оболочки случайных точек на сфере, зависит только от числа точек и размерности пространства.

В трёхмерном пространстве (сфера в ℝ³) для 4 случайных точек вероятность того, что они “окружают” центр (то есть центр лежит внутри их выпуклой оболочки, т.е. тетраэдра), равна:

1/8

Интуитивно это можно понять так: чтобы центр оказался внутри тетраэдра, точки должны быть распределены “со всех сторон” сферы достаточно равномерно. Если же все точки попали в некоторую полусферу, то центр точно окажется вне их выпуклой оболочки. Вероятность такого “неудачного” распределения оказывается равной 7/8, а значит дополнение до 1 даёт 1/8.

Итог: вероятность того, что центр сферы лежит внутри случайного тетраэдра, образованного четырьмя случайными точками на сфере, равна 1/8.