ОТРЕЗОК АВ- ДИАМЕТР ВЕРХНЕГО ОСНОВАНИЯ ЦИЛИНДРА,СД-ДИАМЕТР НИЖНЕГО,ПРИЧЕМ ОТРЕЗКИ АВ И СД НЕ ЛЕЖАТ НА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. никита в категроии Геометрия, вопрос открыт 20.04.2017 в 13:45

а)Докажите,что у тетраэдра АВСД скрещивающиеся ребра попарно равны
б)Найдите объем этого тетраэдра,если АС=6,АД=8,а радиус цилиндра равен 3

Разбор задачи

Условие:

• АВ и СД — диаметры оснований цилиндра.
• Эти отрезки не лежат на параллельных прямых.
• Надо доказать равенство скрещивающихся рёбер и найти объём тетраэдра АВСД при заданных данных.

Решение:

Пункт а) Доказательство равенства скрещивающихся рёбер

Рассмотрим построение:

• Точки $A$ и $B$ принадлежат верхнему основанию цилиндра.
• Точки $C$ и $D$ принадлежат нижнему основанию цилиндра.
• Так как $A$ и $B$ являются диаметрально противоположными точками, то $AB = 2R$, где $R$ — радиус верхнего основания.
• Аналогично, $CD = 2R$, где $R$ — радиус нижнего основания.

Теперь, скрещивающиеся рёбра $AC$ и $BD$:

• Эти рёбра соединяют точки из разных оснований цилиндра.
• Диаметры оснований $AB$ и $CD$ расположены под углом друг к другу (условие задачи), следовательно, все отрезки между противоположными вершинами будут равны.

Докажем равенство рёбер:

1. Тетраэдр симметричен относительно центральной оси цилиндра.
2. По свойствам цилиндра, расстояние между верхним и нижним основаниями одинаково для всех соответствующих точек.
3. Значит, $AC = BD$ и $AD = BC$.

Таким образом, рёбра $AC = BD$ и $AD = BC$ равны.

Пункт б) Найдём объём тетраэдра

Имеем данные:

• $AC = 6$,
• $AD = 8$,
• Радиус цилиндра $R = 3$, следовательно, $AB = CD = 2R = 6$.

1. Расположение вершин

Расположим точки в трёхмерной системе координат для удобства:

• $A = (-3, 0, h)$, $B = (3, 0, h)$ — на верхнем основании (высота $h$),
• $C = (0, -3, 0)$, $D = (0, 3, 0)$ — на нижнем основании (высота $0$).

2. Высота цилиндра

Высота $h$ между верхним и нижним основаниями не дана явно, но она не влияет на равенство рёбер и объём. Будем считать её константой $h$.

3. Объём тетраэдра

Объём тетраэдра вычисляется как:

Вычислим координаты векторов:

• $\vec{AB} = (6, 0, 0)$,
• $\vec{AC} = (3, -3, -h)$,
• $\vec{AD} = (3, 3, -h)$.

Векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AD}$:

Итак, $\vec{AC} \times \vec{AD} = (0, -18, 18)$.

Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})$: