К сфере с площадью 144 пи см^2 проведена касательная плоскость, на которой выбрана точка А. Расстояние от точки А до наиболее удалённой от неё точки сферы равно 16 см. Найдите расстояние от точки А до точки касания сферы с плоскостью.

Для решения этой задачи нужно использовать свойства сферы и касательной плоскости. Давайте разберём решение пошагово.

1. Найдем радиус сферы. Нам известно, что площадь поверхности сферы равна $144 \pi$ см². Формула для площади поверхности сферы:

где $R$ — радиус сферы.

Известно, что $S = 144 \pi$, поэтому подставим это значение в формулу:

Сократим на $\pi$:

Теперь разделим обе стороны уравнения на 4:

и, следовательно,

2. Рассмотрим геометрическую конфигурацию. Касательная плоскость касается сферы в одной точке (назовем её $T$). Расстояние от точки $A$ (произвольно выбранной на касательной плоскости) до наиболее удалённой от неё точки сферы равно 16 см. Наиболее удалённая точка от $A$ — это точка на поверхности сферы, расположенная на противоположной стороне относительно точки касания $T$. Это означает, что точка $A$, центр сферы $O$ и наиболее удалённая точка на сфере лежат на одной прямой.

Обозначим расстояние от точки $A$ до центра сферы как $d$. Тогда расстояние от точки $A$ до наиболее удалённой точки сферы будет равно $d + R$, то есть:

Из этого уравнения находим $d$:

Таким образом, расстояние от точки $A$ до центра сферы равно 10 см.

3. Найдём расстояние от точки $A$ до точки касания. Мы знаем, что точка $T$, где плоскость касается сферы, лежит на расстоянии $R$ от центра сферы. Поскольку $OT = 6$ см и $OA = 10$ см, то расстояние от точки $A$ до точки касания $T$ можно найти по теореме Пифагора для треугольника $OAT$, где $OT$ — радиус, а $OA$ — расстояние от точки $A$ до центра сферы.

Применим теорему Пифагора:

Итак, расстояние от точки $A$ до точки касания сферы с плоскостью равно 8 см.