Окружность касается сторон угла с вершиной А в точках М и К. Касательная к этой окружности пересекает отрезки АМ и АК в точках В и С. Докажите, что периметр треугольника АВС не зависит от выбора этой касательной.

Доказательство.

Обозначим через $Т$ точку касания окружности с отрезком $ВС$.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, их отрезки равны. Следовательно:

• $АМ=АК$ — касательные из точки $А$;

• $ВМ=ВТ$ — касательные из точки $В$;

• $СК=СТ$ — касательные из точки $С$.

Так как точки $В$ и $С$ лежат на отрезках $АМ$ и $АК$ соответственно, получаем:

Кроме того,

Теперь найдем периметр треугольника $АВС$:

Подставим полученные выражения:

После сокращения противоположных слагаемых получаем:

Учитывая, что $АМ=АК$, окончательно имеем:

Таким образом, периметр треугольника $АВС$ всегда равен удвоенной длине касательной, проведенной из вершины угла $А$ к окружности. Эта длина постоянна и не зависит от положения касательной $ВС$.

Что и требовалось доказать.