Треугольник АВС и трапеция КМNP имеют общую среднюю линию EF,причем KP параллельна MN,EFпарал-на AC.Найти PK и MN,если AC=16 cм,KP:MN=3:5

Для решения задачи давайте шаг за шагом рассмотрим геометрические свойства и используем пропорции.

Итак, у нас есть треугольник ABC и трапеция KMPN, которые имеют общую среднюю линию EF. При этом выполнены следующие условия:

1. KP параллельна MN, то есть стороны трапеции KMPN параллельны.
2. EF параллельна AC, это значит, что средняя линия трапеции (EF) параллельна основанию треугольника AC.
3. Задано, что отношение длин отрезков KP и MN равно 3:5, то есть $KP : MN = 3 : 5$.
4. Длина отрезка AC = 16 см.

1. Основные геометрические соотношения

• Средняя линия трапеции EF делит трапецию пополам по длине оснований. То есть, длина EF будет равна средней арифметической длине отрезков KP и MN:

  $$EF = \frac{KP + MN}{2}$$

• Так как EF параллельна AC, то она пропорциональна основе треугольника AC, и если известно, что $AC = 16$ см, то длина EF также пропорциональна длине AC.

2. Обозначим неизвестные

Пусть длина отрезка KP будет $3x$, а длина отрезка MN будет $5x$, поскольку $KP : MN = 3 : 5$.

3. Составим уравнение

Мы знаем, что EF — это средняя линия трапеции, и она равна средней арифметической длине оснований KP и MN. То есть:

Так как EF параллельна AC, то длина EF пропорциональна длине AC. А AC = 16 см, значит:

4. Решим уравнение

Разделим обе части уравнения на 4:

5. Найдем длины KP и MN

Теперь, когда мы нашли $x = 4$, можем найти длины отрезков KP и MN:

• $KP = 3x = 3 \times 4 = 12$ см
• $MN = 5x = 5 \times 4 = 20$ см

Ответ:

Длины отрезков:

• PK = 12 см
• MN = 20 см.