Дан куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра 1 ед. изм.
На ребре A1D1 находится точка M так, что A1M:MD1=2:3.
Определи синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью(BB1D1D).

Чтобы найти синус угла между прямой $AM$ и диагональной плоскостью $(BB_1D_1D)$ в кубе, где длина ребра куба равна 1, нужно тщательно проанализировать геометрическую ситуацию и использовать векторы.

1. Определим координаты точек:

Рассмотрим куб, расположенный в трехмерном пространстве с вершинами:

• $A(0, 0, 0)$,
• $B(1, 0, 0)$,
• $C(1, 1, 0)$,
• $D(0, 1, 0)$,
• $A_1(0, 0, 1)$,
• $B_1(1, 0, 1)$,
• $C_1(1, 1, 1)$,
• $D_1(0, 1, 1)$.

Точка $M$ расположена на ребре $A_1D_1$, и отношение $A_1M:MD_1 = 2:3$. Так как длина ребра куба равна 1, расстояние от $A_1$ до $D_1$ составляет 1 единицу. Тогда точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении 2:3.

Мы можем выразить координаты точки $M$ как линейную комбинацию координат точек $A_1$ и $D_1$:

Подставляем координаты $A_1(0, 0, 1)$ и $D_1(0, 1, 1)$:

Таким образом, $M(0, \frac{2}{5}, 1)$.

2. Определим уравнение плоскости $(BB_1D_1D)$:

Для того чтобы найти уравнение плоскости, нам нужно три точки, которые её определяют. Известно, что точками на плоскости являются $B(1, 0, 0)$, $B_1(1, 0, 1)$ и $D_1(0, 1, 1)$. Мы будем искать нормаль к этой плоскости, для чего вычислим два вектора, лежащих в плоскости, и затем найдём их векторное произведение.

Векторы $\overrightarrow{BB_1}$ и $\overrightarrow{BD_1}$:

Теперь найдём их векторное произведение: