В треугольнике ABC известно, что угол C равен 90°, а угол A равен 30°. Биссектриса угла B пересекает катет AC в точке M. Найдите отрезок BM, если AM − CM = 4.

Так как \(\angle C=90^\circ\), \(\angle A=30^\circ\), то \(\angle B=60^\circ\). В прямоугольном треугольнике катет \(BC\), лежащий напротив угла \(30^\circ\), вдвое меньше гипотенузы: \(AB=2BC\).

По теореме о биссектрисе:

\[\frac{AM}{CM}=\frac{AB}{BC}=2.\]

Значит, \(AM=2CM\). По условию \(AM-CM=4\), поэтому \(CM=4\), \(AM=8\).

В треугольнике \(BCM\) угол \(C\) прямой, а \(BC=4\sqrt{3}\). Тогда:

\[BM=\sqrt{CM^2+BC^2}=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=8.\]

Ответ: \(8\).

0 0 Пожаловаться