Докажите, что множество всех точек плоскости,находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой. Помогите,очень прошу

Для того чтобы доказать, что множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, является прямой, параллельной этой прямой, давайте разберёмся с этим шаг за шагом.

1. Обозначения и начальные условия

Предположим, что у нас есть прямая $l$ в плоскости и точка $P$, которая находится на одинаковом расстоянии от этой прямой $l$. Множество всех таких точек, которые лежат по одну сторону от прямой $l$, будет представлять собой некоторую кривую.

Наша цель — доказать, что эта кривая будет прямой, параллельной прямой $l$.

2. Геометрическое описание

Рассмотрим прямую $l$, которую можно задать уравнением $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$ и $C$ — некоторые константы. Мы будем искать множество точек, которые находятся на фиксированном расстоянии $d$ от этой прямой и при этом расположены по одну сторону от неё.

Расстояние от произвольной точки $M(x, y)$ до прямой $l$ вычисляется по формуле:

Пусть это расстояние равно $d$. Тогда у нас есть уравнение:

Из этого уравнения получаем:

Это уравнение говорит нам, что точка $M(x, y)$ должна лежать либо на прямой $l_1$, либо на прямой $l_2$, которые находятся на одинаковом расстоянии от прямой $l$, но с противоположными знаками в выражении для расстояния. Если мы положим $d \sqrt{A^2 + B^2} = k$, то получим два уравнения:

Эти два уравнения описывают две параллельные прямые, которые расположены на расстоянии $d$ от исходной прямой $l$, но с противоположными знаками.

3. Параллельность прямых

Теперь, важно понять, что множество точек, которые лежат по одну сторону от прямой $l$ и находятся на расстоянии $d$ от неё, будет лежать на одной из этих двух параллельных прямых. Эти прямые являются параллельными прямой $l$, так как они имеют одинаковое направление (их нормали совпадают).

4. Заключение

Таким образом, множество всех точек, находящихся на расстоянии $d$ от прямой $l$ и расположенных по одну сторону от неё, будет представлять собой одну из двух параллельных прямых, которые находятся на расстоянии $d$ от $l$. Это завершает доказательство, что множество таких точек — прямая, параллельная данной прямой.