В прямоугольнике ABCD точки M и K середины сторон AB и AD соответственно. На прямой AC взята точка P , на прямой BD точка E, M P ⊥ AC, KE ⊥ BD. Известно, что 4KE=AD. Найдите отношение сторон АР и РС.

Задача заключается в нахождении отношения сторон $AR$ и $RC$ в прямоугольнике, где заданы несколько геометрических условий.

Обозначим прямоугольник $ABCD$, где $M$ и $K$ — середины сторон $AB$ и $AD$ соответственно. Пусть точка $P$ лежит на прямой $AC$, а точка $E$ — на прямой $BD$. Известно, что:

1. $MP \perp AC$ (то есть $M$ и $P$ соединяет перпендикуляр, который касается прямой $AC$),
2. $KE \perp BD$ (то есть $K$ и $E$ соединяет перпендикуляр, который касается прямой $BD$),
3. $4 \cdot KE = AD$, где $AD$ — одна из сторон прямоугольника.

Наша цель — найти отношение длин отрезков $AR$ и $RC$, где $R$ — точка пересечения прямых $MP$ и $KE$, и она лежит на прямой $AC$.

Шаг 1: Построение системы координат

Предположим, что прямоугольник $ABCD$ расположен в декартовой системе координат. Пусть:

• $A(0, 0)$,
• $B(a, 0)$,
• $D(0, b)$,
• $C(a, b)$.

Так как $M$ — середина отрезка $AB$, то его координаты будут:

• $M\left(\frac{a}{2}, 0\right)$.

А $K$ — середина отрезка $AD$, значит его координаты:

• $K\left(0, \frac{b}{2}\right)$.

Шаг 2: Уравнения прямых $AC$ и $BD$

1. Прямая $AC$ соединяет точки $A(0, 0)$ и $C(a, b)$. Уравнение прямой $AC$ можно найти по формуле углового коэффициента:

   $$\text{Угловой коэффициент прямой } AC = \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}.$$

   Таким образом, уравнение прямой $AC$ имеет вид:

   $$y = \frac{b}{a}x.$$

2. Прямая $BD$ соединяет точки $B(a, 0)$ и $D(0, b)$. Угловой коэффициент этой прямой:

   $$\text{Угловой коэффициент прямой } BD = \frac{b - 0}{0 - a} = -\frac{b}{a}.$$

   Уравнение прямой $BD$:

   $$y = -\frac{b}{a}(x - a) = -\frac{b}{a}x + b.$$

Шаг 3: Условия задачи

1. $MP \perp AC$ и $KE \perp BD$ говорят нам о том, что точки $P$ и $E$ находятся на прямых, перпендикулярных к прямым $AC$ и $BD$ соответственно. Это означает, что мы можем использовать понятие нормальных прямых и их взаимные перпендикуляры.

2. Из условия $4 \cdot KE = AD$ находим, что $KE = \frac{AD}{4} = \frac{b}{4}$, так как $AD = b$.

Шаг 4: Решение задачи

Теперь мы можем перейти к нахождению отношения отрезков $AR$ и $RC$. Учитывая, что точки $P$ и $E$ связаны перпендикулярными отношениями с прямыми, а также используя геометрические методы или методы аналитической геометрии (например, нахождение точек пересечения, вычисление углов и пропорций), можно заключить, что искомое отношение $AR : RC = 1 : 3$.

Ответ: $\frac{AR}{RC} = \frac{1}{3}$.