7. АС и BD – диаметры окружности с центром О, Докажите, что А,В,С,D – вершины параллелограмма.

Для доказательства того, что точки A, B, C и D — вершины параллелограмма, давайте рассмотрим геометрическую задачу, где AС и BD — диаметры окружности с центром в точке O. Нам нужно доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Дано:

• AС и BD — диаметры окружности с центром O.
• О — центр окружности, и О лежит на серединах диаметров.
• Точки A, B, C, D лежат на окружности.

Доказательство:

1. Параллельность сторон параллелограмма:

   Чтобы показать, что ABCD — параллелограмм, нужно доказать, что противоположные стороны параллельны и равны.

   • Пусть О — центр окружности, и AС и BD — диаметры этой окружности. Поскольку AС и BD являются диаметрами, то точки A, B, C и D расположены на окружности, и мы знаем, что отрезки AС и BD пересекаются в центре окружности (в точке O).
   • Диаметры окружности перпендикулярны друг другу, потому что они соединяют противоположные точки окружности. Следовательно, прямые, которые проходят через середины этих диаметров, перпендикулярны.

   Таким образом, линии AB и CD (которые являются хордами, соединяющими точки на окружности) параллельны друг другу. Точно так же линии AD и BC также будут параллельны, так как они являются хордами, соединяющими точки на окружности.

2. Равенство противоположных сторон:

   Рассмотрим треугольники OAB и OCD:

   • Отрезки OA = OC (радиусы окружности), OB = OD (радиусы окружности).
   • Углы OAB и OCD — прямые, так как они образованы диаметрами окружности.
   • Треугольники OAB и OCD являются прямоугольными и равными по гипотенузе (радиусам) и катетам (половинам диаметров).

   Следовательно, стороны AB и CD равны между собой, а также стороны AD и BC равны между собой.

3. Заключение:

   Поскольку противоположные стороны (AB и CD, AD и BC) равны и параллельны, то четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что A, B, C и D являются вершинами параллелограмма.