равнобедренные треугольники TSR и TPR имеют общее основание TR.докажите что треугольники TPS и RPS равны(точки s и p лежат в одной полуплоскости относительно прямой tr)

Чтобы доказать равенство треугольников $\triangle TPS$ и $\triangle RPS$, начнем с анализа исходных данных и используем основные свойства равнобедренных треугольников и геометрические теоремы.

Дано:

1. Треугольники $\triangle TSR$ и $\triangle TPR$ равнобедренные с общим основанием $TR$.
2. Точки $S$ и $P$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $TR$.

Требуется доказать:

$\triangle TPS \cong \triangle RPS$.

Доказательство:

1. Рассмотрим равнобедренные треугольники $\triangle TSR$ и $\triangle TPR$:

   • Поскольку оба треугольника равнобедренные, по определению: $$TS = SR \quad \text{(в \( \triangle TSR \))},$$ $$TP = PR \quad \text{(в \( \triangle TPR \))}.$$

2. Общий отрезок $TR$: Основание $TR$ является общим для треугольников $\triangle TSR$ и $\triangle TPR$. Поэтому оно одинаково по длине в обоих треугольниках.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle TPS$ и $\triangle RPS$:

   • В них общая сторона $PS$.
   • Стороны $TS$ и $SR$ из равнобедренного треугольника $\triangle TSR$ равны: $$TS = SR.$$
   • Стороны $TP$ и $PR$ из равнобедренного треугольника $\triangle TPR$ равны: $$TP = PR.$$

4. Сравним треугольники $\triangle TPS$ и $\triangle RPS$ по трём сторонам (ССС):

   • В $\triangle TPS$ и $\triangle RPS$:
     • $PS$ является общей стороной.
     • $TS = SR$ (из равнобедренности $\triangle TSR$).
     • $TP = PR$ (из равнобедренности $\triangle TPR$).
   • Следовательно, треугольники $\triangle TPS$ и $\triangle RPS$ равны по признаку равенства треугольников по трём сторонам (ССС).

Вывод:

Треугольники $\triangle TPS$ и $\triangle RPS$ равны, что и требовалось доказать.