Из вершины D квадрата ABCD со стороной 2 см к его плоскости проведен перпендикуляр DK=2 корня из 3. Найти площадь треугольника ABK.

Для решения задачи нужно найти площадь треугольника ABK, где K — это точка пересечения перпендикуляра DK с плоскостью квадрата ABCD.

1. Определение координат точек:

   Пусть квадрат ABCD лежит в плоскости $z = 0$. Определим координаты его вершин в трехмерной системе координат:

   • A(0, 0, 0)
   • B(2, 0, 0)
   • C(2, 2, 0)
   • D(0, 2, 0)

   Точка K — это точка, куда перпендикуляр DK, проведенный из вершины D, пересекает плоскость квадрата. Перпендикуляр DK имеет длину $2\sqrt{3}$ и направлен вдоль оси $z$, то есть его координаты по оси $z$ будут изменяться на величину $2\sqrt{3}$, начиная от точки D. Таким образом, координаты точки K будут:

   • K(0, 2, $2\sqrt{3}$)

2. Векторы AB и AK:

   Для нахождения площади треугольника ABK воспользуемся формулой через векторное произведение. Для этого нужно найти два вектора, например, $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AK}$:

   • Вектор $\overrightarrow{AB} = B - A = (2, 0, 0) - (0, 0, 0) = (2, 0, 0)$
   • Вектор $\overrightarrow{AK} = K - A = (0, 2, 2\sqrt{3}) - (0, 0, 0) = (0, 2, 2\sqrt{3})$

3. Векторное произведение:

   Теперь находим векторное произведение $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AK}$:

   $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AK} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2\sqrt{3} \end{vmatrix}$$

   Вычислим детерминант:

   $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AK} = \mathbf{i}(0 \cdot 2\sqrt{3} - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(2 \cdot 2\sqrt{3} - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 0)$$ $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AK} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(4\sqrt{3}) + \mathbf{k}(4)$$ $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AK} = (0, -4\sqrt{3}, 4)$$

4. Модуль векторного произведения:

   Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Для треугольника площадь будет половиной этой величины:

   $$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AK}| = \sqrt{0^2 + (-4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8$$