Дан параллелограмм ABCD. O - точка пересечения диагоналей. Найдите векторы OA-OB, CD+2DO, AB+BD+DC

Задача связана с векторами в параллелограмме ABCD, где O — точка пересечения диагоналей. Давайте пошагово разберём, как решить задачу.

1. Вектор $\mathbf{OA} - \mathbf{OB}$:

   В параллелограмме диагонали делят друг друга пополам, значит, точка O — это середина обеих диагоналей. Обозначим вектора:

   • $\mathbf{A}$ — вектор, который направлен от точки O к точке A.
   • $\mathbf{B}$ — вектор, который направлен от точки O к точке B.

   Поскольку $O$ — середина диагоналей, то можно записать следующее соотношение:

   $$\mathbf{OA} = \frac{1}{2} \mathbf{AC}, \quad \mathbf{OB} = \frac{1}{2} \mathbf{BD}$$

   Тогда выражение для $\mathbf{OA} - \mathbf{OB}$ примет вид:

   $$\mathbf{OA} - \mathbf{OB} = \frac{1}{2} \mathbf{AC} - \frac{1}{2} \mathbf{BD}$$

   Далее, так как $\mathbf{AC} = \mathbf{AD} + \mathbf{DC}$ (по свойствам параллелограмма), а $\mathbf{BD} = \mathbf{AB} + \mathbf{AD}$, получаем:

   $$\mathbf{OA} - \mathbf{OB} = \frac{1}{2} (\mathbf{AD} + \mathbf{DC}) - \frac{1}{2} (\mathbf{AB} + \mathbf{AD})$$

   Упростим:

   $$\mathbf{OA} - \mathbf{OB} = \frac{1}{2} \mathbf{DC} - \frac{1}{2} \mathbf{AB}$$

   Ответ: вектор $\mathbf{OA} - \mathbf{OB}$ выражается как $\frac{1}{2} (\mathbf{DC} - \mathbf{AB})$.

2. Вектор $\mathbf{CD} + 2 \mathbf{DO}$:

   Рассмотрим векторы $\mathbf{CD}$ и $\mathbf{DO}$. Из геометрии параллелограмма мы знаем, что $\mathbf{CD} = -\mathbf{DC}$ (так как противолежащие стороны параллелограмма равны и направлены в противоположные стороны). Далее, так как точка O — это середина диагонали, то вектор $\mathbf{DO}$ равен $-\frac{1}{2} \mathbf{DC}$.

   Таким образом:

   $$\mathbf{CD} + 2 \mathbf{DO} = -\mathbf{DC} + 2 \left( -\frac{1}{2} \mathbf{DC} \right)$$

   Упростим:

   $$\mathbf{CD} + 2 \mathbf{DO} = -\mathbf{DC} - \mathbf{DC} = -2 \mathbf{DC}$$

   Ответ: $\mathbf{CD} + 2 \mathbf{DO} = -2 \mathbf{DC}$.

3. Вектор $\mathbf{AB} + \mathbf{BD} + \mathbf{DC}$:

   Для вектора $\mathbf{AB} + \mathbf{BD} + \mathbf{DC}$ применим свойства параллелограмма. Начнём с того, что:

   $$\mathbf{AB} + \mathbf{BD} = \mathbf{AD} \quad (\text{по свойствам параллелограмма, так как } \mathbf{AB} + \mathbf{BD} = \mathbf{AD})$$

   Тогда:

   $$\mathbf{AB} + \mathbf{BD} + \mathbf{DC} = \mathbf{AD} + \mathbf{DC}$$

   Но вектор $\mathbf{AD} + \mathbf{DC}$ — это вектор $\mathbf{AC}$, так как $\mathbf{AC} = \mathbf{AD} + \mathbf{DC}$.

   Ответ: $\mathbf{AB} + \mathbf{BD} + \mathbf{DC} = \mathbf{AC}$.

Итоговые ответы:

1. $\mathbf{OA} - \mathbf{OB} = \frac{1}{2} (\mathbf{DC} - \mathbf{AB})$
2. $\mathbf{CD} + 2 \mathbf{DO} = -2 \mathbf{DC}$
3. $\mathbf{AB} + \mathbf{BD} + \mathbf{DC} = \mathbf{AC}$