На стороне CD квадрата АВСD лежит точка Р так, что СР=РD, О - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы АР, СР, РА через векторы АВ=а и ВС=в

Рассмотрим квадрат $ABCD$, в котором $A, B, C$ и $D$ — вершины квадрата, а $AB = a$ и $BC = b$ — векторы, образующие стороны квадрата.

Пусть $P$ — точка на стороне $CD$ такая, что $CP = PD$. Тогда точка $P$ — это середина отрезка $CD$. Поскольку $CD$ — сторона квадрата, вектор $CD$ равен $b - a$.

Теперь найдем векторы $AP$, $CP$, и $PA$ через заданные векторы $a$ и $b$.

1. Выражение для вектора $CP$

Так как $P$ является серединой $CD$, то вектор $CP$ равен половине вектора $CD$. Значит:

2. Выражение для вектора $AP$

Вектор $AP$ можно выразить как сумму векторов $AC$ и $CP$:

Поскольку $ABCD$ — квадрат, диагональ $AC$ равна $a + b$. Подставляя это и найденное выражение для $CP$:

Упростим это выражение:

3. Выражение для вектора $PA$

Вектор $PA$ равен противоположному вектору $AP$:

Итоговые выражения

Таким образом, мы получили следующие выражения для векторов:

• $AP = \frac{1}{2} a + \frac{3}{2} b$,
• $CP = \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} a$,
• $PA = -\frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b$.

Эти результаты представляют векторы $AP$, $CP$ и $PA$ через векторы $a = AB$ и $b = BC$, как и требовалось.