Определи длину меньшей боковой стороны прямоугольной трапеции, если один из углов трапеции равен 45°, меньшее основание — 2 см, большее основание — 10,7 см.

Для решения задачи, давайте рассмотрим прямоугольную трапецию и используем её геометрические свойства. Мы знаем следующее:

• Меньшее основание $a = 2$ см,
• Большее основание $b = 10,7$ см,
• Один из углов трапеции $\alpha = 45^\circ$.

Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла, то есть один из её боковых углов (при меньшем основании) составляет $90^\circ$. Из условия задачи следует, что угол, который указан, равен 45°. Этот угол образуется между боковой стороной, которая перпендикулярна большому основанию, и прямой, соединяющей концы оснований трапеции. Теперь давайте пошагово определим длину меньшей боковой стороны.

1. Обозначения: Обозначим меньшую боковую сторону как $h$, которую нам нужно найти.

2. Используем треугольник, образованный боковой стороной и основаниями: Из условия задачи мы знаем, что угол $45^\circ$ — это угол между боковой стороной трапеции и линией, соединяющей концы оснований. То есть между вертикальной боковой стороной и горизонтальными основаниями образуется угол 45°. Это означает, что треугольник, образованный боковой стороной и разностью длин оснований, является прямоугольным.

3. Вычислим разницу длин оснований: Разница между большими и меньшими основаниями:

   $$\text{Разница оснований} = b - a = 10,7 \, \text{см} - 2 \, \text{см} = 8,7 \, \text{см}.$$

   Это расстояние между основаниями по горизонтали.

4. Используем тангенс угла для нахождения боковой стороны: В прямоугольном треугольнике с углом $45^\circ$ тангенс угла равен отношению противолежащего катета (разности оснований) к прилежащему катету (меньшей боковой стороне). То есть:

   $$\tan(45^\circ) = \frac{\text{разница оснований}}{h}.$$

   Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то у нас получается:

   $$1 = \frac{8,7}{h}.$$

   Отсюда находим:

   $$h = 8,7 \, \text{см}.$$

Таким образом, длина меньшей боковой стороны трапеции составляет 8,7 см.